Nullstellen und Vielfachheiten des Polynoms x^5 – x

Berechne alle Nullstellen und deren Vielfachheiten von $$X^5-X$$ über $$\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$$.

Lösung:

Eine Nullstelle ist offensichtlich $$\lambda_1 = 0$$, d.h. es gilt:
$$X^5-X = X(X^4-1)$$

Wendet man auf $$X^4-1$$ zweimal die dritte binomische Formel an erhält man:
$$(X^4-1) = (X^2-1)(X^2+1) = (X-1)(X+1)(X^2+1)$$

Aus der Gleichung $$X^5-X = X(X-1)(X+1)(X^2+1)$$ kann man nun von links nach rechts 5 Nullstellen ablesen:
$$\lambda_1 = 0$$
$$\lambda_2 = 1$$
$$\lambda_3 = 4$$ = -1 (mod 5)
$$\lambda_4 = 2$$, denn 2²+1 = 5 = 0 (mod 5)
$$\lambda_5 = 3$$ = -2 (mod 5), denn 3²+1 = 10 = 0 = 5 = -2²+1

Es gilt: $$X^5-X = X(X-1)(X-2)(X-3)(X-4)$$ hat 5 Nullstellen deren Vielfachheiten alle gleich 1 sind.

Wenn man nicht zwischen Polynom und Polynomfunktion unterscheidet gilt $$X^5-X = 0$$ in $$\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$$.