Nullstellen und Vielfachheiten des Polynoms x^3 – 2

Berechne alle Nullstellen und deren Vielfachheiten von $$X^3-2$$ in den Ringen $$\mathbb{Q}[X], \mathbb{R}[X], \mathbb{C}[X]$$.

Lösung

1)

$$!X^3 – 2 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad X^3 = 2$$

hat keine Lösung über ℚ.

2)

$$!X^3 – 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda_1 = \sqrt[3]{2}$$

ist eine Lösung.

Es gibt ein Polynom $$f \in \mathbb{R}[X]$$ mit $$X^3-2 = (X-\sqrt[3]{2}) f$$.

Führt man eine Polynomdivision durch, erhält man:

$$!(X^3-2) / (X-\sqrt[3]{2}) = X^2+\sqrt[3]{2}X+\sqrt[3]{4} = f$$

f ist ein Polynom zweiten Grades, die Nullstellen kann man mit der p-q-Formel suchen:

$$!0 = X^2+\sqrt[3]{2}X+\sqrt[3]{4}\\\\ \Rightarrow \lambda_{2,3} = -\frac{\sqrt[3]{2}}{2} \pm \sqrt{\frac{\sqrt[3]{4}}{4}-\sqrt[3]{4}}$$

Unter dem großen Wurzelzeichen steht eine negative Zahl, also sind $$\lambda_{2,3}$$ keine reellen Zahlen. D.h. f ist irreduzibel über ℝ.
Also hat $$X^3-2$$ eine Nullstelle, $$\lambda_1$$, deren Vielfachheit 1 ist.

3)

$$0 = X^2+\sqrt[3]{2}X+\sqrt[3]{4}$$ hat über ℂ zwei Lösungen:

$$!\lambda_{2,3} = -\frac{\sqrt[3]{2}}{2} \pm \frac{\sqrt[6]{108}}{4}i$$

D.h. $$X^3-2 = (X-\lambda_1)(X-\lambda_2)(X-\lambda_3)$$ hat drei Nullstellen, deren Vielfachheiten gleich 1 sind.