Körpererweiterung und Gradsatz

Behauptung
Sei L/K eine Körpererweiterung, a ∈ L mit [K(a) : K] ungerade.
Dann folgt: K(a) = K(a2).

Für [K(a) : K] gerade stimmt die Aussage nicht.

Beweis

1.Teil:
L ist ein Köper, deshalb gilt: a ∈ L ⇒ a2 ∈ L

Auch gilt: a2 ∈ K(a)

Somit haben wir die Kette: K ⊆ K(a2) ⊆ K(a)

Nach dem Gradsatz gilt nun:
[K(a) : K] = [K(a) : K(a2)] [K(a2) : K]

Betrachten wir das Polynom p(x) = x2 -a2 aus K(a2)

Es hat a als Nullstelle.

Das Minimalpolynom von a über K(a2) hat also höchstens Grad 2.

D.h.: [K(a) : K(a2)] ≤ 2

Wenn der Grad gleich 2 wäre, dann wäre [K(a) : K] gerade, was aber nach Vorraussetzung nicht ist.

D.h.: [K(a) : K(a2)] = 1 ⇔ K(a) = K(a2).

2.Teil
Sei K = ℚ und a = √2. Dann gilt:
K(a2) = ℚ(2) = ℚ ≠ ℚ(√2) = K(a).