Jeder endliche Integritätsbereich ist ein Körper

Beweis:

Ein Integritätsbereich I ist ein vom Nullring verschiedener nullteilerfreier kommutativer Ring mit einem Einselement.

Wir müssen also zeigen, dass jedes Element ≠ 0 ein multiplikatives Inverses hat.

Sei a ∈ I und a ≠ 0.

Wir betrachten eine Abbildung:

$$!F: I \rightarrow I\\ \qquad x\mapsto ax$$

Es gilt: ax = ay ⇔ a(x-y) = 0

Weil I nullteilerfrei ist und a ≠ 0 gilt x = y.

Das heißt: F ist injektiv und weil I endlich ist, ist F auch surjektiv und damit bijektiv.

Es existiert also eine Umkehrabbildung F-1.

Setzten wir a-1 = F-1(1) haben wir die Existenz des Inversen bewiesen.

q.e.d.