Eine unendliche Körpererweiterung hat unendlich vielen Zwischenkörper

Behauptung:

Eine unendliche Körpererweiterung L:K hat unendlich viele Zwischenkörper.

Beweis:

1. Fall:
Es gibt ein $$ \alpha\in L $$, dass transzendent über K ist.
Dann hat $$ K(\alpha):K $$ schon unendlich viele Zwischenkörper.

2.Fall:
L:K ist algebraisch.

Sei B eine Basis von L:K. B ist unendlich, da L:K unendlich ist.

B hat eine abzählbar unendliche Teilmenge $$ A=\{a_n~|~n\in\mathbb{N}\}$$

(Die $$ a_i $$ sind also aus L\K.)

Die Körpererweiterung K(A):K ist unendlich.

Sei $$ F_n := K(a_1,\ldots,a_n) $$.

Dann sind die $$ F_n $$ eine aufsteigende Kette von Zwischenkörpern von L:K.

Da die $$ a_i $$ algebraisch über K sind, haben die $$ F_n $$ alle endlichen Grad über K.

Wenn es nur endlich viele Körper $$ F_n $$ gäbe, dann gäbe es ein k mit $$ F_n = F_k $$ für $$ n\geq k $$.

Damit wäre auch $$ K(A) = F_k $$, weil $$ A \subseteq F_k $$.

Das ist ein Widerspruch dazu, dass K(A) unendlich ist.

Also muss es unendlich viel Zwischenköper $$ F_n $$ geben.

q.e.d.