Jede endliche p-Gruppe ist auflösbar

Behauptung:

Sei p eine Primzahl. Dann ist jede endliche p-Gruppe auflösbar.

Beweis:

Sei $$U_k$$ eine Gruppe der Ordnung $$p^k,~k>1$$.

Dann gibt es eine Kette $$U_k \triangleright U_{k-1} \triangleright\ldots \triangleright U_{1}\triangleright U_{0}~=~\{e\}$$ mit $$|U_i / U_{i-1}| = p$$ für alle $$i=1,\ldots ,k$$. [Beweis]

Damit ist $$U_i / U_{i-1}$$ zyklisch und somit abelsch.

q.e.d.