Homomorphiesatz A1

Behauptung:

Sei G eine Gruppe und N ein Normalteiler in G.
$$\varphi: G/N \rightarrow \mathbb{Z}$$ sei ein surjektiver Gruppenhomomorphismus.
Dann gibt es zu jedem $$n \in \mathbb{N}$$ einen Normalteiler U von G, der den Index n in G hat.

Beweis:

Wir suchen einen Homomorphismus $$\phi: G \rightarrow H_n$$
$$H_n$$ soll die Ordnung n haben.
Dann ist die Faktorgruppe $$G/Kern \ \phi$$ isomorph zu $$H_n$$ und hat damit auch die Ordnung n. (Homomorphiesatz).
D.h. es gibt genau n Nebenklassen bzgl. $$Kern \ \phi$$
also ist n der Index eines Normalteilers.

Betrachte zwei kanonische Epimorphismen:
$$\pi: G \rightarrow G/N \\ \quad a \mapsto aN$$
und
$$\pi_n: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_n = \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$$
Dann ist
$$\phi := \pi_n \circ \varphi \circ \pi$$
ein gesuchter surjektiver Gruppenhomomorphismus nach $$\mathbb{Z}_n$$
$$\phi: G \xrightarrow{\pi} G/N \xrightarrow{\varphi} \mathbb{Z} \xrightarrow{\pi_n} \mathbb{Z}_n.$$

q.e.d.