Existenz von Normalteilern in p-Gruppen

Behauptung:

Sei p eine Primzahl und G eine endliche Gruppe der Ordnung $$|G|=p^r,~r\geq 1$$.
Dann besitzt G einen Normalteiler der Ordnung pr-1.

Beweis:

Vollständige Induktion nach r.

Induktionsanfang: r=1

$$\{e\}\triangleleft G$$ ist ein Normalteiler der Ordnung 1.

Induktionsschritt: A(r-1) => A(r)

Sei r > 1.
Dann gilt für das Zentrum: $$|Z(G)| = p^s,~ s\geq1$$.
Nach dem ersten Satz von Sylow hat Z(G) eine Untergruppe N mit |N| = p.
Es gilt: $$N\triangleleft G’$$ für jede Untergruppe G‘ von G, die N enthält, weil:
$$N\subset Z(G) \Rightarrow gxg^{-1}=x$$ für alle $$x\in N$$ und $$g\in G’$$. D.h. die Normalteilerbedingung $$gNg^{-1}\subset N$$ für alle $$g\in G’$$ ist erfüllt.

Nach der Abzählformel hat die Faktorgruppe G/N die Ordnung:

$$!|G/N|=\frac{|G|}{|N|}=\frac{p^r}{p}=p^{r-1}$$

Nach Induktionsvoraussetzung hat G/N einen Normalteiler $$\overline{M}$$ der Ordnung $$p^{r-2}$$.

Sei der kanonische Homomorphismus:

$$!\pi: G\rightarrow G/N\\ g\mapsto gN$$

und sei

$$!M=\pi^{-1}(\overline{M}) ~:=~\{g\in G~|~\pi (g) \in \overline{M}\}$$

Dann ist M ein Normalteiler in G.

Es gilt $$N\subset M$$, da N das neutrale Element in $$\overline{M}$$ ist.

Damit folgt:
$$N\triangleleft M$$, und es ist $$M/N = \overline{M}$$.

Weiter gilt:
$$p^{r-2}=|\overline{M}| = \frac{|M|}{|N|} = \frac{|M|}{p}$$
also:
$$|M|=p^{r-1}$$.

q.e.d.