Es gibt genau eine Gruppe der Ordnung 15 (Sylow)

Beweis:

Sei G eine Gruppe der Ordnung 15 = 3*5.

Jede 3-Sylow-Untergruppe hat die Ordnung 3 und ist isomorph zu ℤ3.
Jede 5-Sylow-Untergruppe hat die Ordnung 5 und ist isomorph zu ℤ5.

Nach dem dritten Satz von Sylow ist die Anzahl n3 der 3-Sylow-Untergruppen ein Teiler von 5 und von der Form n3 = 1+3k = {1, 4, 7, …}. D.h. es bleibt nur n3 = 1, d.h. es gibt nur eine 3-Sylow-Untergruppe.

Für die 5-Sylow-Untergruppe gilt das gleiche:
n5 ist ein Teiler von 3 und von der Form n5 = 1+5k = {1, 6, 11, …}. D.h. es bleibt nur n5 = 1, d.h. es gibt nur eine 5-Sylow-Untergruppe.

Da es nur eine 3-Sylow N und eine 5-Sylow M gibt, sind sie jeweils Normalteiler in G.

Ihr Durchschnitt ist {e}, damit hat ihr Produkt NM 15 Elemente, und damit ist das Produkt gerade G.

Nun ist G = NM isomorph zu N×M, und damit isomorph zu ℤ3×ℤ5, und damit (nach dem Chinesischen Restsatz) isomorph zu ℤ15 (weil ggT(3,5) = 1).

G ist also isomorph zu ℤ15.