Das direkte Produkt einer Gruppe

Aufgabe:

Sei $$(G,\cdot)$$ eine Gruppe.
Auf der Menge $$G\times G$$ wird eine neue Verknüpfung $$*$$ erklärt mit $$(a,b)*(a‘,b‘) = (a\cdot a‘,b\cdot b‘)$$.
Weise nach, dass $$(G\times G,*)$$ eine Gruppe ist.

Lösung:

Um zu sehen, dass $$(G\times G,*)$$ eine Gruppe ist, muss man alle Gruppenaxiome nachweisen:

Die Abbildung ist wohldefiniert:

$$(G\times G)^2 \rightarrow G\times G \\\\ (a,b)*(a‘,b‘) := (a\cdot a‘,b\cdot b‘) \in G\times G.$$

Assoziativgesetz:

Für alle $$(a,b), (c,d), (e,f) \in G\times G$$ gilt unter Verwendung des Assoziativgesetzes von G:

$$\quad ((a,b) * (c,d)) * (e,f)\\\\ = (a\cdot c,b\cdot d) * (e,f)\\\\ = ((a\cdot c)\cdot e,(b\cdot d)\cdot f))\\\\ = (a\cdot (c\cdot e),b\cdot (d\cdot f))\\\\ = (a,b) * ((c\cdot e),(d\cdot f))\\\\ = (a,b) * ((c,d) * (e,f))$$

Das neutrale Element:

Sei $$e$$ das neutrale Element in $$G$$. Dann ist $$(e,e)$$ das neutrale Element in $$G\times G$$:

Für alle $$(a,b) \in G\times G$$ gilt:

$$\quad (a,b)*(e,e)\\\\ = (a\cdot e,b\cdot e)\\\\ = (a,b)\\\\ = (e\cdot a, e\cdot b)\\\\ = (e,e)*(a,b)$$

Das Inverse:

Seien $$a, b, c, d \in G$$ mit $$a\cdot c = e = c\cdot a$$ und $$b\cdot d = e = d\cdot b$$. Dann ist $$(c,d)$$ das Inverse von $$(a,b)$$:

$$\quad (a,b)*(c,d)\\\\ = (a\cdot c,b\cdot d)\\\\ = (e,e)\\\\ = (c\cdot a, d\cdot b)\\\\ = (c,d)*(a,b)$$

Damit ist gezeigt, dass $$(G\times G,*)$$ eine Gruppe ist.

Kommutativgesetz:

Wir zeigen noch, dass $$(G\times G,*)$$ genau dann eine abelsche Gruppe ist, wenn $$(G,\cdot)$$ abelsch ist:

1. Sei $$G$$ abelsch. Dann gilt $$(a,b)*(c,d) = (a\cdot c,b\cdot d) = (c\cdot a,d\cdot b) = (c,d)*(a,b)$$ für alle $$(a,b),(c,d) \in G\times G$$.

2. Sei $$G\times G$$ abelsch, d.h. $$(a,c)*(b,d) = (b,d)*(a,c)$$. Daraus folgt $$a\cdot b = b\cdot a$$ für alle $$a,b \in G$$.