Gruppentheorie

Eine Gruppe ist ein Paar (G,*). Dabei ist G eine Menge und * eine zweistellige Verknüpfung bezüglich G. D.h. die Verknüpfung von zwei Elementen aus G ergibt wieder ein Element aus G. Weiter müssen die folgenden Axiome erfüllt sein, damit (G,*) eine Gruppe ist:

Assoziativität: Für alle Gruppenelemente a, b, c gilt: (a*b)*c = a*(b*c).

Existenz des neutralen Elements: Es gibt ein Element e in G, mit dem für alle Gruppenelemente a aus G gilt: a*e = e*a = a.

Existenz der Inversen: Zu jedem Gruppenelement a in G existiert ein inverses Element a-1 in G mit a * a-1 = a-1 * a = e.

Eine Gruppe (G,*) heißt abelsch oder kommutativ, wenn zusätzlich das folgende Axiom erfüllt ist:
Kommutativität: Für alle Gruppenelemente a und b gilt a*b = b*a.