Jede Körpererweiterung vom Grad 2 ist normal

Behauptung:

Jede Körpererweiterung L:K vom Grad 2 ist normal.

Beweis:

$$[L:K] = 2 \Rightarrow L\neq K$$
Sei $$\alpha\in L\setminus K.$$
$$\alpha$$ hat mindestens den Grad 2 über K,
d.h. das Minimalpolynom $$m_{\alpha,K}$$ hat mindestens den Grad 2.
Nach Voraussetzung hat $$m_{\alpha,K}$$ höchstens Grad 2.
Daher ist $$L = K(\alpha)$$.
Sei $$\beta$$ die zweite Nullstelle von $$m_{\alpha,K}$$
$$-(\alpha + \beta)$$ ist der Koeffizient von x in $$m_{\alpha,K}$$.
Daher gilt $$-(\alpha + \beta)\in K$$ und $$\beta\in K(\alpha)$$.
$$\Rightarrow L$$ ist der Zerfällungskörper von $$m_{\alpha,K}$$ und damit normal über K.